Комплексные числа
Комплексные числа — расширение вещественных чисел посредством добавления к ним «мнимой единицы», обозначаемой i, для которой выполняется тождество i2 = −1.
Таким образом, комплексные числа представляются и единственным образом в виде a + bi, где a и b — вещественные числа. Благодаря этому, комплексные числа удобно представлять как точки двумерной плоскости с координатами (a, b) (горизонтальная координатная ось x при этом представлении может отождествляться с действительными числами, которые как известно, можно мыслить как точки прямой).
В математической литературе множество всех комплексных чисел обычно обозначается как ℂ (традиция, идущая от Бурбаки).
Свойства[править]
Комплексные числа, как и действительные числа, образуют поле: то есть их не только можно складывать, вычитать, перемножать, но и делить друг на друга (если то число, на которое делят, не равно нулю). Этим их замечательные свойства не ограничиваются. Самое главное, что это алгебраически замкнутое поле — по основной теореме алгебры любой многочлен имеет корень и может быть разложен на линейные множители над полем комплексных чисел. В вещественном случае это не выполняется (например, многочлен x2 + 1 не имеет вещественных корней, а комплексные корни имеет — это будут те самые i и −i).
Комплексные числа удобно представлять в тригонометрической форме z = r(cosφ + isinφ), где r — так называемый модуль комплексного числа z = a + bi (r2 = a2 + b2), а φ — «аргумент», tg(φ) = b/a. Число r равно расстоянию от точки (a; b) до начала координат (0; 0), а угол φ определен с точностью до 2π, что не должно смущать познавших тригонометрию. Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно возводить в степень: (r(cosφ + isinφ))k = rk(cos(kφ) + isin(kφ)). То есть при возведении комплексного числа в степень, его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на степень, в которую надо возвести.
Если вспомнить, что комплексная экспонента eiφ = cosφ + isinφ, то приходим к показательной форме записи комплексного числа, открытой великим Эйлером: z = reiφ. Если подставить сюда φ = π, то получится бессмертная формула: eiπ = −1.
Над полем комплексных чисел можно построить комплексный анализ, где многие теоремы удобнее и проще, чем в вещественном анализе. Комплексный анализ привел к многочисленным прорывам в теории чисел и многих других областях математики и физики: например, с помощью них удобно описывать переменный ток. Интересно, что живший в XX веке великий индийский математик-самоучка Рамануджан (1887—1920), переоткрывший многие теоремы анализа XIX века и продвинувшийся в ряде вопросов гораздо дальше западных математиков, совершенно не пользовался комплексным анализом (по крайней мере до переезда в Англию) и видимо вовсе не знал его.
История[править]
Комплексные числа появились в Средние века при попытках решать в радикалах кубические уравнения. Когда были выведены формулы для корней кубического многочлена, оказалось, что частенько (в самом главном случае, когда у него три корня) приходится извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Сначала это вызвало недоумение и даже шок у тогдашних математиков, но потихоньку они привыкли к новым числам, в которых в принципе ничего сверхъественного нет. Ведь комплексные числа — это такая же математическая абстракция, как и любые другие числа.
Что дальше[править]
Комплексные числа уже так просто не расширишь до чего-то хорошего. Тем не менее, как один из вариантов более общего числового объекта выступают кватернионы (некоммутативная ассоциативная алгебра с делением чисел вида a + bi + cj + dk, где a, b, c, d — вещественные, i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk= i, ki = j), которые таят много интересного.
Разное[править]
В советское время комплексные числа изучали в школе на факультативных занятиях (было и такое). Сейчас в РФ по-видимому только в специализированных классах и школах с углубленным изучением математики. Но в российском ВУЗе на математических специальностях комплексные числа преподадут в обязательном порядке.
Меметизация[править]
Нереальная
