Число
Число — фундаментальная абстракция, выражающая количественную характеристику объектов, их порядок в последовательности или служащая уникальным идентификатором. Это основополагающее понятие математики и логики, возникшее из практических потребностей счёта и измерения в глубокой древности.
Число связано с процессами математизации и координатизации, при которых идеи облекаются в математическую форму, а математические формы исследуются с помощью тех или иных обобщений чисел — начиная с комплексных чисел и векторов («координат») и кончая вовне границ познания математики… дык тем лишь расширяя границы-те, застолбевая новые направления для чистого разума.
Понятие числа выступает не как статичное определение, а как динамическая, развивающаяся умственная схема, лежащая в основе одной из самых мощных интеллектуальных технологий человечества. Его анализ является философской проблемой, связанной с проблемами оснований математики, теория познания, когнитивной науки, лингвистики и истории идей. Понятие числа эволюционировало от простого инструмента счёта до богатой многоуровневой системы абстракций, пронизывающей всё теоретическое и прикладное знание. Числа служат основой языка, на котором описываются закономерности в чистой математике, в естественных науках и — в вычислительно-информационных технологиях.
История[править]
Исторически понятие числа развивалось, как символьно-вычислительная конструкция, служащая схемам учёта количеств или шагов упорядоченного повтора — стремясь в поисках наиболее чёткой абстрактной идеи, которая послужит всё большему разнообразию логических задач. При формировании нашей цивилизации на принципах базированной эллинской философии оказалось, что натуральные числа (1, 2, 3, …) и рациональные пропорции (½, ¼, ¾) таят в своей такую бесконечную структуру с огромным значением для общества и разума, что вокруг этого нехитрого лейтмотива недурственно будет организовать религию мистического толка, а также платформу для самостоятельного направления философии. Кроме количества, натуральные числа выражают также порядок: «размер» начисляемого по единице однозначно соответствует некоторой позиции в иерархии: позиции в порядке следования. Дальнейшее развитие цивилизации — торговли, архитектуры, навигации, геодезии, гидравлики, логистике, стратегии,… — потребовало расширения этого понятия. В ряде культур, по-видимому, начиная с Индии, появился нуль, как не просто позиционный нуль, но первичное число, ещё более основное по отношению к единице, и обозначающее отсутствие какого-то количества, а также отправную точку, концептуализация которой предшествуюет отмеру эталонного отрезка: мерной единицы. Осознание общего характера позиционного нуля и нуля самостоятельного, весьма способствовало утверждению позиционной системы счисления, как принципиально обоснованной.
Потребность в описании долей целого, результата деления, привела к введению дробей, которые формализованы в виде неотрицательных рациональных чисел.
Открытие пифагорейцами несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной показало существование величин, не выражаемых отношением целых чисел, что привело к признанию иррациональных чисел. Совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество вещественных (действительных) чисел, которое можно геометрически интерпретировать как все точки числовой прямой.
Новый качественный скачок связан с введением в Средние века в Европе концепции о шансах, чья степень вероятности подлежит количественной оценке, и, стало быть — предлагает арифметические интерпретации того, что профану может казаться «волей случая». Здесь зародилась концепция о доле, как чисто арифметической абстракции, свободной от классических законов геометрии: 1/x, где x хотя бы чуть-чуть больше 1 — всегда будет меньше единицы, но больше, чем ничего, чем нуль. Это даже интуитивно соответствует расчётам о догадках касательно шанса.
К концу Средних веков и по итогам богатой практики белых мореплавателей, было фундаментально обосновано задействование комплексных чисел вида a + bi, где i — мнимая единица (корень из −1, то есть i2 = −1). Их появление было обусловлено внутренними потребностями алгебры (решение кубических уравнений), позволило сформулировать многие фундаментальные теоремы, но, среди прочего, дало алгебраический инструмент расчёта координат на сферической поверхности, в частности — поверхности водной глади мирового океана. Комплексные числа впоследствии нашли глубокое применение в физике и инженерии, а в квантовой механике дак вообще легли во край угла волновой функции Шрёдингера.
Те философы, кто с высоты своей мудрости не забывал рассматривать и саму математику в ключе её внутренних математических закономерностей, всегда обращали внимание на исторический процесс обобщения числа, как такового (как понятия), как на процесс логически неизбежный, движимый током познания от простого к сложному и от частично-пористого к сплошному и всеединому.
Философская природа понятия числа[править]
С философской точки зрения природа чисел не имеет единого объяснения (как и любая сложная философская проблема).
Понятие числа — не синоним самого «числа», а скорее исследуемая категория, отвечающая на вопросы о природе, происхождении, онтологическом статусе и способах постижения числовых сущностей. Его формирование связано с фундаментальными операциями сознания, такими как отождествление и различение объектов, установление взаимно-однозначного соответствия, абстрагирование от конкретных свойств и последовательное оперирование знаками.
Понятие числа выполняет ряд ключевых функций в мышлении:
- оно служит инструментом квантификации (перевода качественных восприятий в количественные соотношения),
- является основой для идеализации (создания идеальных объектов вроде точки или единицы)
- является каркасом для систематизации (организации знаний в иерархические структуры) и моделирования реальных процессов.
Центральной проблемой является эпистемологический статус понятия числа: является ли оно врождённой идеей, продуктом культурно-исторического развития или логической конструкцией. С одной стороны, элементарные количественные интуиции наблюдаются у животных и младенцев, что может свидетельствовать о биологических предпосылках понятия. С другой, его историческое развитие — от конкретных числительных для разных типов предметов к универсальному абстрактному счёту — демонстрирует его глубокую зависимость от языка, практической деятельности и уровня теоретического мышления.
Платонизм рассматривает числа как идеальные, вечные сущности, существующие независимо от человеческого сознания. В его рамках утверждается, что понятие числа отражает объективно существующую в особом идеальном мире реальность, которую разум не создаёт, а открывает.
Формализм считает числа элементами строгих аксиоматических систем, где они определяются через отношения и правила операций с ними, без привязки к внешнему миру. То есть числа выступают как результат соглашения о правилах манипуляции символами в рамках заданной аксиоматической системы, лишая их какого-либо внешнего содержания.
Концептуализм видит в числах ментальные конструкции, порождённые разумом для организации опыта.
Интуиционизм и конструктивизм видят в понятии числа результат имманентной деятельности сознания, мысленного конструирования, где существование числа неотделимо от возможности его построения.
Логицизм рассматривает понятие числа как производное от более общих логических понятий, сводя его к классам эквивалентности (типичное утверждение: «натуральное число есть то, что присуще всем множествам, равномощным данному»).
В современной математике множества чисел определяются аксиоматически (как, например, в аксиоматике Пеано для натуральных чисел или в теории множеств). Числа выступают не только как меры количества, но и как элементы алгебраических структур (групп, полей, колец), что позволяет применять мощный аппарат абстрактной алгебры для изучения их свойств.
